Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0
（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用=2，可得坐标之间的关系，利用=0，即可求得C的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程与y=2x²联立，利用韦达定理，结合，可得结论．
解答：解：（Ⅰ）设A坐标是（a，0），M坐标是（x，y），B（0，b），则=（x-a，y），=（-a，b），=（a，1）
∵=2，∴有（x-a，y）=2（-a，b），即有x-a=-2a，y=2b，即x=-a，y=2b
∵=0，∴有a（x-a）+y=0
∴-x（x+x）+y=0，∴-2x²+y=0
即C的方程是y=2x²；
（Ⅱ）设Q（m，2m²），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=-
∴直线l的方程为y-2m²=-（x-m）
与y=2x²联立，消去y可得2x²+x-2m²-=0，该方程必有两根m与x_R，且mx_R=-m²-
∴（2m²）y_R=4（-m²-）²
∵，∴mx_R+（2m²）y_R=0，∴-m²-+4（-m²-）²=0，∴m=±
∴直线l的方程为．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用向量知识是关键．