Question

【题目】已知椭圆的焦距为2，点在直线上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为坐标原点， 为直线上一动点，过点作直线与椭圆相切点于点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用椭圆 的焦距为2，点在直线上，求出， ， ，即可求椭圆的标准方程；（2）设出切线方程和代入椭圆方程，求得关于的一元二次方程， ，求得，求得和的关系，根据三角形的面积公式将面积表示为关于的函数，

利用导数可求得其最小值.

试题解析：（1）椭圆 的焦距为2， ，又点在直线上， ， .故椭圆的标准方程是.

（2）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设， .

由得，相切，

，且， ， . ， .

当时， ，又， ， .

令 ，则 ，

由得， 在上单减，在单增，

.即当的斜率为时， 面积的最小值为.

同理当时， ，当的斜率为时， 面积的最小值为.

综上， 面积的最小值为.