Question

已知数列{a_n},a₁=2a+1(a≠-1的常数),a_n=2a_n-1+n²-4n+2(n≥2,n∈N^∗),数列{b_n}的首项, b₁=a,b_n=a_n+n²(n≥2,n∈N^∗).

(1)证明:{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列并求{b_n}通项公式;

(2)设S_n为数列{b_n}的前n项和,且{S_n}是等比数列,求实数a的值;(3)当a>0时,求数列{a_n}的最小项.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；（2） 。

（3）当时，最小项为8a-1； 当时，最小项为4a；当时，最小项为2a+1。   当时，最小项为4a或8a-1当时，最小项为4a或2a+1；

【解析】b_n=a_n+n²

所以构造出，化简成与b_n的代数式；是等比数列，∴3a+4=0；分类讨论，a_n单调性

解：

(n≥2)

，∵,,即从第2项起是以2为公比的等比数列

（2）由（1）求得 ∵是等比数列, ∴3a+4=0，即 。

（3）由已知当时，，所以,

所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。

当时，最小项为8a-1； 当时，最小项为4a；当时，最小项为2a+1。   

当时，最小项为4a或8a-1当时，最小项为4a或2a+1；