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已知椭圆C:(a>b>0),则称以原点为圆心,r=的圆为椭圆C的“知己圆”。

(Ⅰ)若椭圆过点(0,1),离心率e=;求椭圆C方程及其“知己圆”的方程;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,若过点(0,m)且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2,求m的值;

(Ⅲ)讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.

 

【答案】

(1)(2)  

(3)当r=c<b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点,圆在椭圆内;  12分

当r=c=b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点,交点是(0,1)和(0,-1);

当r=c>b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。

【解析】

试题分析:(Ⅰ)∵ 椭圆C过点(0,1),由椭圆性质可得:b=1;

又∵椭圆C的离心率e=,即,且       2分

∴ 解得

∴所求椭圆C的方程为:                         4分

又∵

∴ 由题意可得椭圆C的“知己圆”的方程为:            6分

(Ⅱ)过点(0,m)且斜率为1的直线方程为y="x+m" 即:x-y+m=0

设圆心到直线的距离为d,则d=           8分

∴d=    解得:m=                          10分

(Ⅲ)∵称以原点为圆心,r=的圆为椭圆C的“知己圆”,此时r=c

∴ 当r=c<b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点,圆在椭圆内;  12分

当r=c=b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点,交点是(0,1)和(0,-1);

当r=c>b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。            14分

考点:椭圆的性质

点评:主要是考查了椭圆的几何性质以及新定义的理解和运用,属于中档题。

 

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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
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(A)1     (B)2      (C)      (D)

 

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