已知椭圆C:(a>b>0),则称以原点为圆心,r=的圆为椭圆C的“知己圆”。
(Ⅰ)若椭圆过点(0,1),离心率e=;求椭圆C方程及其“知己圆”的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,若过点(0,m)且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2,求m的值;
(Ⅲ)讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.
(1)(2)
(3)当r=c<b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点,圆在椭圆内; 12分
当r=c=b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点,交点是(0,1)和(0,-1);
当r=c>b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)∵ 椭圆C过点(0,1),由椭圆性质可得:b=1;
又∵椭圆C的离心率e=,即,且 2分
∴ 解得
∴所求椭圆C的方程为: 4分
又∵
∴ 由题意可得椭圆C的“知己圆”的方程为: 6分
(Ⅱ)过点(0,m)且斜率为1的直线方程为y="x+m" 即:x-y+m=0
设圆心到直线的距离为d,则d= 8分
∴d= 解得:m= 10分
(Ⅲ)∵称以原点为圆心,r=的圆为椭圆C的“知己圆”,此时r=c
∴ 当r=c<b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点,圆在椭圆内; 12分
当r=c=b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点,交点是(0,1)和(0,-1);
当r=c>b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。 14分
考点:椭圆的性质
点评:主要是考查了椭圆的几何性质以及新定义的理解和运用,属于中档题。
科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省龙岩市高三(上)期末质量检查一级达标数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷解析版) 题型:解答题
(13分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点.
(I)求椭圆C的离心率:
(II)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程.
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科目:高中数学 来源:2014届甘肃武威六中高二12月学段检测文科数学试题(解析版) 题型:解答题
(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M、N.
①求椭圆C的方程.
②当⊿AMN的面积为时,求k的值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省高三第七次月考理科数学 题型:解答题
已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线y=x+与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切,F1,F2为其左、右焦点,P为椭圆C上任一点,△F1PF2的重心为G,内心为I,且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A,B且线段AB的垂直平分线过定点C(,0)求实数k的取值范围。
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省高三上学期第三次月考数学文卷 题型:选择题
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点,若。则 ( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
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