Question

已知△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,H是点A在平面DBC内的射影,求证:H不可能是△DBC的垂心.

Answer 1

证明一:假设H是△DBC的垂心,如图,连结CH并延长交BD于F,则CF⊥BD.

∵AH⊥面DBC,∴AH⊥BD.

又CF∩AH=H,∴BD⊥面ACF.∴BD⊥AC.

又DA⊥面ABC,∴DA⊥AC.又BD∩DA=D,∴AC⊥面DAB.

∴AC⊥AB.

这与已知△ABC为正三角形矛盾.∴H不可能是△DBC的垂心.

证明二:假设H是△DBC的垂心,如上图,连结CH,则CH⊥BD.

∵AH⊥面DBC,由三垂线定理知AC⊥BD.

又DA⊥面ABC,

由三垂线定理的逆定理知AC⊥AB.这与已知△ABC为正三角形矛盾.∴H不可能是△DBC的垂心.