Question

已知一四棱锥P-ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）当点E在何位置时，BD⊥AE？证明你的结论；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由该四棱锥的三视图知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅱ）不论点E在PC上的何位置，都有BD⊥AE，欲证明证明此结论，只需证明BD⊥平面PAC，不论点E在何位置，都有AE?平面PAC即可．
（Ⅲ）法一：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连接BG，由CD=CB，EC=EC，知Rt△ECD≌Rt△ECB，故BG=EA，所以∠DGB是二面角D-EA-B的平面角，由此能求出二面角D-AE-B的大小．
法二：以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（Ⅰ）由该四棱锥的三视图知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD=

1

3

S正方形ABCD×PC=

2

3

．
（Ⅱ）不论点E在PC上的何位置，都有BD⊥AE，
证明如下：
连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（Ⅲ）解法一：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连接BG，
∵CD=CB，EC=EC，∴Rt△ECD≌Rt△ECB，
∴BG=EA，
∴∠DGB是二面角D-EA-B的平面角，
∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE，
在Rt△ADE中，DG=

AD•DE

AE

=

2

3

=BG，
在△DGB中，
由余弦定理得cos∠DGB=

DB2+BG2-BD2

2DB•BG

=

2× 2 3 -2

2× 2 3

=-

1

2

∴∠DGB=

2π

3

．
解法二：以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：
则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），从

DE

=(-1，0，1)，

DA

=(0，1，0)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

m

=(a，b，c)，

n

=(a′，b′，c′)
由

DE

•

m

=0，

DA

•

m

=0可得：-a+c=0，b=0，
同理得：a'=0，-b'+c'=0．令c=1，c'=-1，则a=1，b'=-1，
∴

m

=(1，0，1)，

n

=(0，-1，-1)------（10分）
设二面角D-AE-B的平面角为θ，则cosθ=

m • n

|m |•| n |

=-

1

2

∴∠DGB=

2π

3

．

点评：本题考查四棱锥体积的求法，考查直线垂直的判断与证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．