Question

【题目】一些选手参加数学竞赛，其中有些选手互相认识，有些选手互相不认识，而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人．若与认识，但没有共同的熟人，求证：、认识的熟人一样多．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

用点表示人，两人互相认识就在相应两点间连一条线段，依题意间有连线（如图）．

由于、没有共同的熟人，故凡认识的人就不认识，凡认识的人就不认识．

现设，，…，与认识，，，…，与认识，由于任一与不认识，而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人，故与有且仅有一个共同的熟人．

反之，每一个与有且仅有一个共同的熟人．

亦即每一必与某一有连线，每一也必与某一有连线．

现设与认识，与认识，下面证明与不相同时，与也不相同．

若不然，与重合，则、与均有连线，从而互不认识的，共同认识3个人，，（如图），与已知条件“恰有两个共同的熟人”矛盾，可见，．

同理，，不相同时，其对应的，也不相同，又得．

从而．这表明、认识的熟人一样多．