Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n之间满足关系S_n=-
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n项和a_n．

Answer 1

解：（I）n=1时，a₁=S₁=-a₁，∴a₁= （1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=--+，∴a_n=a_n-1，
即数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列 （3分）
故a_n= （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-（5分）
∴） （6分）
∴T_n==2[（1-）+（）+…+（）]=-2（1-）
∴T₂₀₁₂=- （8分）
（III）由题意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×，故{c_n}的前n项和u_n=-[1×+2×+…+n×]①
∴u_n=-[1×+2×+…+n×]②
①-②可得：u_n=-[+++…+-n×]（12分）
∴u_n=-[1-]+n×
∴u_n=-+×+n× （14分）
分析：（I）n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由此可得数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，故可求数列{a_n}的通项公式；
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=-，所以），利用叠加法可求T₂₀₁₂的值；
（III）由题意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×，利用错位相减法可求{c_n}的前n项和．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，掌握求和的方法是关键．