Question

两县城A和B相距20km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧

AB

上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在

AB

的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设∠CAB=θ（rad），将θ表示成y 的函数；并写出函数的定义域．
②设AC=x（km），将x表示成y的函数；并写出函数的定义域．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

Answer 1

分析：（1）①设∠CAB=θ（rad），AC=20cosθ，BC=20sinθ，结合当垃圾处理厂建在

AB

的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，则可得函数解析式，并可写出函数的定义域；
②先利用AC⊥BC，求出，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．
（2）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．

解答：解：（1）①在直角△ABC中，AC=20cosθ，BC=20sinθ，则y=

4

400cos2θ

+

k

400sin2θ

（0＜θ＜

π

2

）
当x=10

2

时，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函数为y=

4

400cos2θ

+

9

400sin2θ

（0＜θ＜

π

2

）；
②由题意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=

4

x2

+

9

400-x2

（0＜x＜20）
（2）选②，则y′=

18x4-8(400-x2)2

x3(400-x2)2

，
令y'=0得18x⁴=8（400-x²）²，
所以x²=160，即x=4

10

，
当0＜x＜4

10

时，18x⁴＜8（400-x²）²，即y'＜0，以函数为单调减函数，
当4

10

＜x＜20时，18x⁴＞8（400-x²）²，即y'＞0，所以函数为单调增函数．
所以当x=4

10

时，即当C点到城A的距离为4

10

时，函数y=

4

x2

+

9

400-x2

（0＜x＜20）有最小值．

点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题目