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19.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,且CD=2AB,点E在棱PB上,且PE=2EB,PA=AB=BC.
(1)求证:PD∥平面AEC;
(2)若PA=3,求三棱锥P-ACE的体积.

分析 (1)连结BD,交AC于点M,连结EM.判断△ABM∽△CDM,推出PD∥EM即可证明PD∥平面AEC.
(2)取CD中点F,连接BF,AF,求出E到平面PAC的距离是B到平面PAC的距离,利用VP-ACE=VE-PAC转化求解即可.

解答 解:(1)连结BD,交AC于点M,连结EM.
∵AB∥CD,∴△ABM∽△CDM….(2分)
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$,
又PE=2EB,∴$\frac{BM}{MD}=\frac{EB}{PE}=\frac{1}{2}$,∴PD∥EM….(5分)
∵EM?平面AEC,PD?平面AEC,∴PD∥平面AEC.….(6分)
(2)取CD中点F,连接BF,AF,PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BF,
又∵AC⊥BF,AC∩PA=A,∴BF⊥平面PAC,$BF=3\sqrt{2}$,
又因为PE=2EB,
所以,E到平面PAC的距离是B到平面PAC的距离的$\frac{2}{3}$,所以$h=\sqrt{2}$…(9分)
${V_{P-ACE}}={V_{E-PAC}}=\frac{1}{3}{S_{△PAC}}•h$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•3\sqrt{2}•3•\sqrt{2}=3$….(12分)
注:其它解法酌情给分.

点评 本题考查空间几何体的体积的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.

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①f(x)=|x|,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x(x≥0)}\\{-x(x<0)}\end{array}\right.$ ②f(x)=$\frac{{x}^{2}-4}{x-2}$,g(x)=x+2 ③f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$,g(x)=x+2 ④f(x)=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$,g(x)=0,x∈{-1,1}.
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