Question

已知二次函数f（x）的顶点坐标为（1，1），且f（0）=3，
（1）求f（x）的解析式，
（2）x∈[-1，1]，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围，
（3）若f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为已知二次函数的顶点坐标，故可设二次函数的顶点式f（x）=a（x-1）²+1，代入f（0）=3，即可得a的值，从而得函数解析式；
（2）先将y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方问题转化为g（x）=x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立问题，从而只需求函数g（x）的最小值即可得m的取值范围；
（3）因为函数f（x）的对称轴为x=1，且二次函数开口向上，故要使函数f（x）=2（x-1）²+1在[a，a+1]单调，只需a+1≤1或a≥1，解得a的范围

解答：解：（1）由已知，设f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3
（2）由已知，即2x²-4x+3＞2x+2m+1，化简得 x²-3x+1-m＞0，
设g（x）=x²-3x+1-m，则只要g（x）_min＞0，x∈[-1，1]即可
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上为减函数
∴g（x）_min=g（1）=-1-m＞0，
∴m＜-1．
（3）要使函数f（x）=2（x-1）²+1在[a，a+1]单调，
则a+1≤1或a≥1，
则a≤0或a≥1，
∴实数a的取值范围为a≤0或a≥1，

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，二次函数不等式恒成立问题的解法，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解决本题的关键