Question

4．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{1-{3^x}}}{{a+{3^{x+1}}}}$
（1）若a=1，求证函数f（x）不是奇函数；
（2）若此函数是奇函数
①判断并证明函数f（x）的单调性；
②求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）若a=1，根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）不是奇函数；
（2）若此函数是奇函数，建立方程关系即可求出a的值，结合指数函数的性质即可判断函数f（x）的单调性；
②利用指数函数的单调性结合分式函数的性质即可求函数f（x）的值域．

解答 解：（1）若a=1，则f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$，则f（1）=$\frac{1-3}{1+9}=\frac{-2}{10}$=-$\frac{1}{5}$，
f（-1）=$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+1}=\frac{\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
则f（-1）≠-f（1），则函数f（x）不是奇函数；
（2）①若此函数是奇函数，
则f（-x）=-f（x），即$\frac{1-{3}^{-x}}{a+{3}^{-x+1}}$=-$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$，
即$\frac{{3}^{x}-1}{a•{3}^{x}+3}$=-$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$，
则a•3^x+3=a+3•3^x，
解得a=3，
此时f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{3+{3}^{x+1}}$=$\frac{2-（{3}^{x}+1）}{3（{3}^{x}+1）}$=$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$，
∵y=3^x为增函数，
∴y=3^x+1为增函数，
则y=$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$为减函数，
即f（x）=$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$为减函数；
②∵3^x＞0，
∴3^x+1＞1，
则0＜$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜1，
即0＜$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜$\frac{2}{3}$，
则$-\frac{1}{3}$＜$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜$\frac{1}{3}$，
即，$-\frac{1}{3}$＜f（x）＜$\frac{1}{3}$，
则函数f（x）的值域为（$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．利用分子常数化是求值域的基本方法．