Question

（2012•上海）已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．
（1）设c_n=3n+6，{a_n}是公差为3的等差数列．当b₁=1时，求b₂、b₃的值；
（2）设cn=n3，an= n2 -8n．求正整数k，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k；
（3）设cn=2n +n，an=

1+(-1)n

2

．当b₁=1时，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先根据条件得到数列{b_n}的递推关系式，即可求出结论；
（2）先根据条件得到数列{b_n}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；
（3）先根据条件得到数列{b_n}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{b_n}的通项公式，最后综合即可．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n=3，
∴b_n+1-b_n=n+2，
∵b₁=1，
∴b₂=4，b₃=8．
（2）∵an= n2 -8n．
∴a_n+1-a_n=2n-7，
∴b_n+1-b_n=

n3

2n-7

，
由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即b₄＜b₅＜b₆…；
由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即b₁＞b₂＞b₃＞b₄．
∴k=4．
（3）∵a_n+1-a_n=（-1）ⁿ⁺¹，
∴b_n+1-b_n=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+n）．
∴b_n-b_n-1=（-1）ⁿ（2^n-1+n-1）（n≥2）．
故b₂-b₁=2¹+1；
b₃-b₂=（-1）（2²+2），
…
b_n-1-b_n-2=（-1）^n-1（2^n-2+n-2）．
b_n-b_n-1=（-1）ⁿ（2^n-1+n-1）．
当n=2k时，以上各式相加得
b_n-b₁=（2-2²+…-2^n-2+2^n-1）+[1-2+…-（n-2）+（n-1）]
=

2-2 n-1(-2)

1-(-2)

+

n

2

=

2+2n

3

+

n

2

．
∴b_n=

2+2n

3

+

n

2

+1=

2n

3

+

n

2

+

5

3

．
当n=2k-1时，
bn=bn+1-(-1) n+1(2n+n)
=

2n+1

3

+

n+1

2

+

5

3

-（2ⁿ+n）
=-

2n

3

-

n

2

+

13

6

∴b_n=

- 2n 3 - n 2 + 13 6        n=2k-1 2n 3 + n 2 + 5 3          n=2k

k∈N +．

点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用．是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目．