Question

已知函数f（x）=a^x，g（x）=a^2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为

5

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）=g（x）-2mf（x），求当x∈[0，1]时h（x）的最小值H（m）； 
（Ⅲ）若a＞1，且不等式|

f(x)-mg(x)

f(x)

|≤1在x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为

5

2

，可得a+a^-1=

5

2

，由此可得a的值；
（Ⅱ）利用配方法，结合2^x∈[1，2]，分类讨论，确定函数的单调性，即可求h（x）的最小值H（m）； 
（Ⅲ）若a＞1，不等式|

f(x)-mg(x)

f(x)

|≤1在x∈[0，1]恒成立，等价于|1-m（2^x+

m

2x

）|≤1，即0≤m（2^x+

m

2x

）≤1
，分类讨论确定函数的最值，建立不等式，即可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为

5

2

，
∴a+a^-1=

5

2

，∴a=2或a=

1

2

；
（Ⅱ）函数h（x）=g（x）-2mf（x）=2^2x+m-2m×2^x=（2^x-m）²+m-m²，
∵x∈[0，1]，∴令t=2^x∈[1，2]，y=（t-m）²+m-m²，
∴①m＜1时，函数h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）的最小值H（m）=h（0）=1-m； 
②1≤m≤2时，函数h（x）在[1，m]上单调递减，在[m，2]上单调递增，h（x）的最小值H（m）=h（m）=m-m²；
③m＞2时，函数在h（x）在[0，1]单调递减，h（x）的最小值H（m）=h（1）=4-3m；
（Ⅲ）若a＞1，不等式|

f(x)-mg(x)

f(x)

|≤1在x∈[0，1]恒成立，等价于|1-m（2^x+

m

2x

）|≤1
即0≤m（2^x+

m

2x

）≤2
所以①m≤0时，

m(1+m)≥0 m(2+ m 2 )≤2

，无解；
②0＜m＜2时，

m×2 m ≥0 m(2+ m 2 )≤2

，∴0＜m＜2；
③m≥2时，

m(1+m)≥0 m(2+ m 2 )≤2

，无解；
综上，m的取值范围为（0，2）．

点评：本题考查函数的最值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．