Question

已知函数f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1
（1）当m取何值时，函数的图象与x轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m的值．

Answer 1

分析：（1）将函数的零点转化为方程的根，二次型方程有两个根，令其判别式大于等于0且二次项系数不为0，列出不等式求出m的范围．
（2）先判断二次项系数为0时不合题意，再讨论原点的两侧各有一个，令判别式大于0，两根的积小于0，列出不等式解出m的范围，讨论都在原点的右侧，令判别式大于0，两根的和大于0积也大于0列出不等式求出m的范围．

解答：解：（1）函数f（x）的图象与x轴有两个零点，即方程2（m+1）x²+4mx+2m-1=0有两个不相等的实根，
∴

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 2(m+1)≠0

得m＜1且m≠-1
∴当m＜1且m≠-1时，函数f（x）的图象与x轴有两个零点．
（2）m=-1时，则f（x）=-4x-3
从而由-4x-3=0得x=-

3

4

＜0
∴函数的零点不在原点的右侧，
故m≠-1
当m≠-1时，有3种情况：
①原点的两侧各有一个，则

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 x1x2= 2m-1 2(m+1) ＜0

解得-1＜m＜

1

2

②都在原点的右侧，则

△=16m2-8(m+1)(2m-1)≥0 x1+x2=- 4m 2(m+1) ＞0 x1x2= 2m-1 2(m+1) ＞0

解得m∈∅
③个零点在原点右侧，一个零点就是原点，此时必有2m-1=0，即m=

1

2

，
此时方程的另一个零点为-

2

3

，不合题意，
综①②③可得m∈(-1，

1

2

)．

点评：解决二次方程的根的个数问题利用判别式；解决含参数的函数的性质问题常需要对参数分类讨论．