Question

【题目】设a≥0，f（x）=x﹣1﹣ln2x+2alnx（x＞0）．
（1）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（2）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据求导法则有 ，

故F（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x＞0，

于是 ，

∴知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，

所以，在x=2处取得极小值F（2）=2﹣2ln2+2a．

（2）

证明：由a≥0知，F（x）的极小值F（2）=2﹣2ln2+2a＞0．

于是知，对一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．

从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）内单调增加．

所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0．

故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

【解析】（1）先根据求导法求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间及极值即可．（2）欲证x＞ln2x﹣2a ln x+1，即证x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0，也就是要证f（x）＞f（1），根据第一问的单调性即可证得．