Question

已知函数y=f（x）=

x2+3x+2a

x

，x∈[2，+∞）
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

x2+3x+1

x

=x+

1

x

+3，运用导数判断单调性，求最值．
（2）

x+3x+2a

x

＞0，对x∈[2，+∞）恒成立，2a＞-x²-3x，构造函数g（x）=-x²-3x，x∈[2，+∞）求解最大值，再求a的范围．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

x2+3x+1

x

=x+

1

x

+3，
f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，∵x∈[2，+∞），∴f′（x）＞0
可知y=f（x）在[2，+∞）上是增函数
∴f（x）=f（2）=2+

1

2

+3=

11

2

，
（2）由f（x）＞0，y有

x+3x+2a

x

＞0，对x∈[2，+∞）恒成立，
∴2a＞-x²-3x
令g（x）=-x²-3x，x∈[2，+∞）
∴g（x）_max=f（2）=-10
∴2a＞-10
即a＞-5，
故实数a的取值范围；（-5，+∞）

点评：本题考查了均值不等式在求解函数最值中的应用，单调性定义的判断．