A. | (-2,0)∪(2,+∞) | B. | (-2,0)∪(0,2) | C. | (2,+∞) | D. | (-∞,-2)∪(2,+∞) |
分析 根据条件便可得到函数$g(x)=\frac{f(x)}{x}$在(0,+∞)上单调递增,容易判断g(x)为偶函数,从而g(x)在(-∞,0)上单调递减.而解不等式x2f(x)>0可得f(x)>0,可以得到f(-2)=f(2)=0,这样根据g(x)的单调性便可得出x>2和-2<x<0时,f(x)>0,这样即可得出原不等式的解集.
解答 解:∵$(\frac{f(x)}{x})′=\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$;
∴x>0时,$(\frac{f(x)}{x})′>0$;
设$g(x)=\frac{f(x)}{x}$,则g(x)在(0,+∞)上单调递增;
∵f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x);
∴$g(-x)=\frac{f(-x)}{-x}=\frac{f(x)}{x}=g(x)$;
∴g(x)为偶函数;
∴g(x)在(-∞,0)上单调递减;
由x2f(x)>0得,f(x)>0;
f(2)=f(-2)=0;
∴①x>2时,$g(x)>\frac{g(2)}{2}$=0;
即x>2时,$\frac{f(x)}{x}>0$,∴f(x)>0;
②-2<x<0时,g(x)<g(-2)=$\frac{f(-2)}{-2}=0$;
即-2<x<0时,$\frac{f(x)}{x}<0$,∴f(x)>0;
∴原不等式的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
故选A.
点评 考查商的导数的求导,根据导数符号判断函数单调性的方法,以及奇函数、偶函数的定义,偶函数在对称区间上的单调性特点,不等式的性质,增函数和减函数定义的运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ac2>bc2(c∈R) | B. | $\frac{a+b}{2}>\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$ | C. | 0.2a>0.2b | D. | 2a$>ln\frac{1}{b+1}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $-\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $-\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 30° | B. | 45° | C. | 135°或45° | D. | 135° |
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