Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[ ， ]，都有f（x）﹣2mx≤1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（1）=a+2+c=5，

∴c=3﹣a．①

又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②

将①式代入②式，得﹣ ＜a＜ ，又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2

（2）解：由（1）知f（x）=x2+2x+2．

证明：∵x∈[ ， ]，∴不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立．

易知[﹣（x+ ）]min=﹣ ，

故只需2（1﹣m）≤﹣ 即可．

解得m≥

【解析】（1）把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；（2）不等式f（x）﹣2mx≤1恒成立2（1﹣m）≤﹣（x+ ）在[ ， ]上恒成立，只需要求出[﹣（x+ ）]min=﹣ ，然后2（1﹣m）≤﹣ 求出m的范围即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．