【题目】如图,几何体EF﹣ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求证:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大小.
【答案】
(1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,
∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC,
∵四边形CDEF为正方形.∴DC⊥FC
由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥AC
又∵四边形ABCD为直角梯形,
AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4
∴ , ,则有AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,∴AC⊥FB
(2)解:由(1)知AD,DC,DE所在直线相互垂直,
故以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
可得D(0,0,0),F(0,2,2),B(2,4,0),
E(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0),
由(1)知平面FCB的法向量为 ,
∴ ,
设平面EFB的法向量为 ,
则有:
令z=1则 ,
设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ,
,
∵ ,∴ .
【解析】(1)由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,从而AD⊥FC,DC⊥FC,由此能证明AC⊥FB.(2)以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大小.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为l5,乙组数据的平均数为16.8,则x+y的值为 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某老师对全班名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计数据如下所示:
参加社团活动 | 不参加社团活动 | 合计 | |
学习积极性高 | |||
学习积极性一般 | |||
合计 |
(1)请把表格数据补充完整;
(2)若从不参加社团活动的人按照分层抽样的方法选取人,再从所选出的人中随机选取两人作为代表发言,求至少有一个学习积极性高的概率;
(3)运用独立性检验的思想方法分析:请你判断是否有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系?
附:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆与直线相交于两点,使得四边形为面积等于的矩形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线,切点分别为,直线与椭圆交于两点, 为坐标原点,求的面积的取值范围.
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【题目】设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N* , 都有(an﹣1)(an+3)=4Sn , 其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证数列{an}是等差数列;
(2)若数列{ }的前n项和为Tn , 求Tn .
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