Question

抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，C上动点P到直线l：3x+4y-12=0的最短距离为1，求抛物线C的方程．

Answer 1

分析：根据直线方程可知直线的斜率和y轴上的截距，抛物线如果开口向上，与直线l会相交，最短距离不会等于1，进而可推断出抛物线开口向下，设其方程，抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点，最短距离就是切线到l的距离．设出m的方程，利用点到直线的距离求得q，则m的方程可得．与抛物线方程联立利用判别式等于0求得p，则抛物线的方程可得．

解答：解：直线l：3x+4y-12=0的斜率k=-

3

4

，y轴上的截距：3，
抛物线如果开口向上，与直线l会相交，最短距离不会等于1，
所以抛物线开口向下，设其方程为：x²=-2py，（p＞0）
抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点，
最短距离就是切线到l的距离．
设m的方程为3x+4y+q=0，令m和l的距离

|q+12||

9+16

=1，
求得q=-7或-17，q=-17在l下方，舍去．所以m：3x+4y-7=0．
与抛物线方程x²=-2py联立，代入得2x²-3px-7p=0，
只有一个公共点，△=9p²+56p=p（9p+56）=0，得P=

56

9

所以C的方程：x²=2（-

56

9

）y，
即 9x²+112y=0

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用判别式与0的关系判断出直线与圆锥曲线的交点．