Question

如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

Answer 1

解：（1）将（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0
整理得（﹣x﹣2y+2）k+2x﹣y+1=0
解方程组
得直线所经过的定点（0，1），
所以b=1．
由离心率得a=2．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设P（x₀，y₀），则．
∵HP=PQ，
∴Q（x₀，2y₀）．
∴
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．
即Q点在以AB为直径的圆O上．
又A（﹣2，0），
∴直线AQ的方程为．
令x=2，得．
又B（2，0），N为MB的中点，
∴．
∴，．∴
=x₀（x₀﹣2）+x₀（2﹣x₀）=0．
∴．
∴直线QN与圆O相切．