Question

（2012•江西模拟）设函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（1）证明：函数f（x）在（0，1）是增函数；
（2）求证：0≤a_n+1＜a_n＜1；
（3）若a1=

2

2

，求证：an≤

1

2n

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由于x∈（0，1）时，f'（x）=1-cosx＞0恒成立，可得函数f（x）在（0，1）是增函数．
（2）用数学归纳法证明0≤a_n+1＜a_n＜1成立．
（3）先用导数判断函数的单调性，并利用单调性证明 an+1＜

an2

2

，再证明a₁=

2

2

 时，a_n≤

1

2n

，由此即可证得
结论．

解答：证明：（1）∵x∈（0，1）时，∴f'（x）=1-cosx＞0恒成立，
∴函数f（x）在（0，1）是增函数．…（3分）
（2）∵a₂=f（a₁）=a₁-sina₁，∴a₂-a₁=-sina₁ ．
∵0＜a₁＜1，∴a2＜a1，∴six＜x 恒成立．…（5分）
1当n=1时，0＜a₁＜a₂＜12 命题成立．
3假设当n=k时命题成立，即0≤a_k+1＜a_k＜14，
∵0=f（0）＜f（x）＜f（1）=1-sin1＜1恒成立，…（8分）
∴f（0）＜f（a_k+1）＜f（a_k）＜f（1），即 0≤a_k+2＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故当 n=k+1时，命题成立．
根据①②可知对于任意n∈N*命题0≤a_n+1＜a_n＜1均成立；
（3）证明：先证明 an+1＜

an2

2

，即证 a_n+1-

an2

2

=a_n-sina_n-

an2

2

＜0，a_n∈（0，1）．
令∅（x）=x sinx-

x2

2

，x∈（0，1），则∅′（x）=-x+1-cosx．
再令g（x）=∅′（x），则g′（x）=-1+sinx≤0，故g（x）=∅′（x）在（0，1）上是减函数，
故∅′（x）＜∅′（0）=0，故∅（x）在（0，1）上是减函数，故∅（x）＜∅（0）=0 恒成立．
再由a_n∈（0，1），∅（a_n）＜0，即 a_n-sina_n-

an2

2

＜0，故有 an+1＜

an2

2

．
再证明a₁=

2

2

 时，a_n≤

1

2n

．
由 an+1＜

an2

2

 可得

an+1

an

＜

an

2

． 再由a_n＜a_n-1＜a_n-2＜…＜a₂＜a₁，
当n≥2时，a_n=a₁•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

＜a₁•

a2

2

•

a3

2

…

an

2

＜a₁•

a1

2

•

a1

2

…

a1

2

 
=

a1n

2n-1

=

( 2 2 )n

2n-1

＜

1 2

2n-1

=

1

2n

，
即 a_n＜

1

2n

． …（14分）

点评：本题主要考查数列与不等式的综合，数列与函数的综合，用放缩法、数学归纳法证明不等式，属于难题．