Question

已知向量n=（1，0），点A（0，2），动点P满足：|

0P

|比向量

0P

在n的方向上的投影多2．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在P点的轨迹上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据向量

0P

在n的方向上的投影为|

0P

|cos∠POx，即P点到y轴的距离，又|

0P

|比向量

0P

在n的方向上的投影多2，得出P点到原点的距离等于它到直线x=-2的距离，最后根据抛物线的定义得出所求的轨迹方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的两点B、C，再利用均值不等式，求出y₂的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）∵向量

0P

在n的方向上的投影为|

0P

|cos∠POx，即P点到y轴的距离，又|

0P

|比向量

0P

在n的方向上的投影多2，
∴P点到原点的距离等于它到直线x=-2的距离，∴P点的轨迹是以原点为焦点、直线x=-2为准线的抛物线．
故所求的轨迹方程为y²=4（x+1）．
（2）假设存在这样的两点B、C，设B（

1

4

y₁²-1，y₁），C（

1

4

y₂²-1，y₂），
则

AB

=（

1

4

y₁²-1，y₁-2）=

1

4

（ y₁-2）（y₁+2，4），

BC

=（

1

4

y₂²-

1

4

y₁²，y₂-y₁）=

1

4

（ y₂-y₁） （y₂+y₁，4），
又AB⊥BC，∴

AB

•

BC

=0，即

1

4

（ y₁-2）

1

4

（ y₂-y₁）[（y₁+2）（y₂+y₁）+16]=0，
即y₂=-

16

y1+2

-y₁=2-（

16

y1+2

+y₁+2）．由均值不等式得y₂≥10或y₂≤-6．
故存在这样的两点B、C，且C点的纵坐标的取值范围为 （-∞，-6]∪[10，+∞）．

点评：本小题主要考查抛物线的简单性质、轨迹方程、向量的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．