Question

如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，求二面角Q-PD-A的大小．

Answer 1

（1）P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，a，0）．（2）a≥0．（3）．

试题分析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．∵PA=AB=1，BC=a，∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．

（2）设点Q（1，x，0），则．
由，得x²-ax+1=0．
显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a²-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥0．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三点共线，∴．
又，且，
故．于是．
故．
∵，∴．∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
∵，∴所求二面角为．
点评：空间向量就是一把解决立体几何问题的钥匙，利用向量解答立体几何问题实现了形向数的转化，降低了问题解决的难度