Question

已知向量

a

=（cos（2x-

π

3

），cosx+sinx），

b

=（1，cosx-sinx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=

3

2

，a=2，B=

π

3

，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=

3

2

确定出A的度数，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出S．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（cos（2x-

π

3

），cosx+sinx），

b

=（1，cosx-sinx），
∴函数f（x）=

a

•

b

=cos（2x-

π

3

）+cos²x-sin²x=cos（2x-

π

3

）+cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x=

3

sin（2x+

π

3

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（A）=

3

sin（2A+

π

3

）=

3

2

，得sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵A为△ABC的内角，由题意知0＜A＜

2π

3

，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴2A+

π

3

=

5π

6

，
解得：A=

π

4

，
又a=2，B=

π

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

asinB

sinA

=

6

，
∵A=

π

4

，B=

π

3

，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=

2

2

×

1

2

+

2

2

×

3

2

=

6 + 2

4

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×2×

6

×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．