Question

13．若不等式|mx³-lnx|≥1对?x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{3}$e²，+∞）．

Answer 1

分析 根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．

解答 解：|mx³-lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立
等价为mx³-lnx≥1，或mx³-lnx≤-1，
即m≥$\frac{1+lnx}{{x}^{3}}$，记f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{3}}$，或m≤$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$，记g（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$，
f'（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{3}-3{x}^{2}（1+lnx）}{{x}^{6}}$=$\frac{-2-3lnx}{{x}^{4}}$，
由f'（x）=$\frac{-2-3lnx}{{x}^{4}}$=0，
解得lnx=-$\frac{2}{3}$，即x=e-$\frac{2}{3}$，
由f（x）＞0，解得0＜x＜e-$\frac{2}{3}$，此时函数单调递增，
由f（x）＜0，解得x＞e-$\frac{2}{3}$，此时函数单调递减，
即当x=e-$\frac{2}{3}$时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e^-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1+ln{e}^{-\frac{2}{3}}}{（{e}^{-\frac{2}{3}}）^{3}}$=$\frac{1-\frac{2}{3}}{{e}^{-2}}$=$\frac{1}{3}$e²，此时m≥$\frac{1}{3}$e²，
若m≤$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$，
∵当x=1时，$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$=-1，
∴当m＞0时，不等式m≤$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$不恒成立，
综上m≥$\frac{1}{3}$e²．
故答案为：[$\frac{1}{3}$e²，+∞）．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用函数的导数和最值之间的关系，利用参数分离法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．