Question

已知向量

a

=（2，1），

b

=（x，y）．
（1）若x∈{-1，0，1，2}，y∈{-1，0，1}，求向量

a

∥

b

的概率；
（2）若x∈[-1，2]，y∈[-1，1]，求向量

a

，

b

的夹角是钝角的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件和满足条件的事件可以通过列举得到事件数，根据等可能事件的概率公式，得到结果．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件和满足条件的事件可以利用集合来表示，做出集合对应的面积，利用面积之比得到概率．

解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设“

a

∥

b

”为事件A，由

a

∥

b

，得x=2y．
Ω={（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）}
共包含12个基本事件；
其中A={（0，0），（2，1）}，包含2个基本事件．
则P(A)=

2

12

=

1

6

．
（2）设“两个向量的夹角是钝角”为事件B，由两个向量的夹角是钝角，
可得

a

•

b

＜0，即2x+y＜0，且x≠2y．
Ω={(x，y)|

-1≤x≤2 -1≤y≤1.

   B={(x，y)|

-1≤x≤2 -1≤y≤1 2x+y＜0 x≠2y.

则P(B)=

μB

μΩ

=

1 2 ×( 1 2 + 3 2 )×2

3×2

=

1

3

．

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．