【题目】如图, 中, 是的中点, , .将沿
折起,使点与图中点重合.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大时,求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为?证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)点,
即,
又∵;
(Ⅱ);(Ⅲ)存在,且为线段的中点
证明如下:设,
又平面的法向量,依题意得
解得舍去).
【解析】试题分析:(Ⅰ)欲证,需证明垂直平面内两条直线,
在三角形ABC中,因为, 是的中点,所以;
又因为在折叠的过程中,保持不变,即,,
所以结论成立;
(Ⅱ)在平面内,作于点,则由(1)及已知可得当与重合时,三棱锥的体积最大,并过点作于点,连,则为
在中,易得的值,即为所求;
(Ⅲ)根据图形及已知条件分析可得,存在线段上中点,使与平面所成的角的正弦值为,求出平面的法向量,根据与平面所成的角的正弦值为建立等式关系,即可求得结论.
试题解析:(Ⅰ) 点,
即,
又∵;
(Ⅱ)在平面内,作于点,则由(Ⅰ)可知
又, ,即是三棱锥的高,
又,所以当与重合时,三棱锥的体积最大,
过点作于点,连,由(Ⅰ)知
,
为
,
(Ⅲ)存在,且为线段的中点
证明如下:设,
又平面的法向量,依题意得
解得舍去).
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【题目】给出下列命题:
①已知集合,则“”是“”的充分不必要条件;
②“”是“”的必要不充分条件;
③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件;
④“平面向量与的夹角是钝角”的要条件是“”.
其中正确命题的序号是 .(把所有正确命题的序号都写上)
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【题目】总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取4个个体,选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取,则选出来的第4个个体的编号为( )
第1行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98
第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A.10B.01C.09D.06
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【题目】已知直线l、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题:
①若m∥l,n∥l,则m∥n; ②若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥β,α⊥β,则m∥α
其中,假命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标,且两坐标系取相同的长度单位.已知点的极坐标为,圆的极坐标方程为,若为曲线上的动点,且到定点的距离等于圆的半径.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)若过点的直线的参数方程为(为参数),且直线与曲线交于、两点,求的值.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,其下列叙述正确的是( )
A. 满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B. 满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C. λ+μ的最大值为3
D. λ+μ的最小值不存在
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【题目】给出下列四个命题中:
①函数的一个对称中心为;
②若, 为第一象限角,且,则;
③若,则存在实数,使得;
④点是三角形所在平面内一点,且满足,则点是三角形的内心.
其中正确的序号是__________.(把你认为正确的序号都填上)
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