Question

用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：

（1）银行存折的四位密码;

（2）四位数;

（3）四位奇数.

Answer 1

思路分析:（1）可以分步选取数字，作四位密码的四个位置上的数字，且所取数字不能重复；（2）可以分步选取数字，分别做为千位数字、百位数字、十位数字和个位数字，且所取数字不能重复.与（1）的不同之处是千位数字不能为0；（3）四位奇数的个位只能是1或3，因此符合条件的四位奇数可以分为个位数字是1和个位数字是3的两类，每一类中再分步.要注意千位数字不能取0，且所取数字不能重复.

解:（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120个.

（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2，3,4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96个.

（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：第一类办法是四位奇数的个位取数字为1，这件事可分三个步骤完成：第一步，从2,3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第二步，从2,3，4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步，从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法.利用分步乘法计数原理，第一类中的四位奇数共有

N₁=3×3×2=18个.第二类办法是四位奇数的个位取数字为3，这件事可分三个步骤完成.利用分步乘法计数原理，第二类中的四位奇数共有N₂=3×3×2=18个.

最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数共有N=18＋18=36.

    方法归纳 如果完成一件事，可以有几类办法，这几类办法中的任一类办法都能独立的完成这件事，即方法是相互独立且互斥的，此时应用分类计数原理.如果完成一件事，需分成几个步骤进行，必须连续做完每个步骤才能完成这件事，且各个步骤是互相依存、缺一不可的，此时应用分步计数原理.