Question

6．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x-y=0上．
（Ⅰ）若圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x-y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），
因为圆C的半径为1，圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，
所以圆心C到直线x-y+3=0的距离$d=\sqrt{{1^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又$d=\frac{{|{a-3a+3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2a-3}|}}{{\sqrt{2}}}$，所以$\frac{{|{2a-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．
所以圆C的标准方程为：（x-1）²+（y-3）²=1或（x-2）²+（y-6）²=1．（6分）
（Ⅱ）设圆A：x²+（y-3）²=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．
由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：$1＜\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＜3$，
由$\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＞1$整理得5a²-9a+4＞0，解得$a＜\frac{4}{5}$或a＞1；
由$\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＜3$整理得5a²-9a＜0，解得$0＜a＜\frac{9}{5}$．
所以$0＜a＜\frac{4}{5}$或$1＜a＜\frac{9}{5}$．（6分）

点评 本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．