Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2x²-4x+2，若函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=f（x）得出函数的周期，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数y=f（x）和y=log_a（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围．

解答： 解：由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），
因为偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x），
所以偶函数的周期是2，
由题意得，当x∈[0，1]时，f（x）=2x²-4x+2，
分别作出函数y=f（x）和g（x）=log_a（x+1）的图象，
已知0＜a＜1不满足条件，
则a＞1，要使函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
由图可得，log_a（2+1）＜f（2）=f（0）=2，
即log_a3＜

log

a2 a

，则a²＞3，
解得a＞

3

，
故答案为：a＞

3

．

点评：本题主要考查函数零点应用，利用数形结合，将方程转化为两个函数图象的相交问题是解决此类问题的基本方法．综合性较强．