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已知数列{an}的首项a1=a,前n项和为Sn,且-a2,Sn,2an+1成等差数列.
(Ⅰ)试判断数列{an}是否成等比数列,并说明理由;
(Ⅱ)若a5=32,设bn=log2(a1a2…an),试求
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
的值.
考点:数列的求和,等比关系的确定
专题:等差数列与等比数列
分析:(Ⅰ)由题意知2Sn=-a2+2an+1,当n≥2时,2Sn-1=-a2+2an,两式相减,得2an=2an+1-2an,从而得到an+1=2an,当a1=a=0时,an=0,{an}不是等比数列.当a≠0时,
an+1
an
=2
,{an}是首项为a,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由a3=32,解得a=2,所以an=2n.从而得到
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=
2
1×2
+
2
2×3
+…+
2
n(n+1)
,由此利用裂项求和法能求出结果.
解答: 解:(Ⅰ)∵数列{an}的首项a1=a,前n项和为Sn,且-a2,Sn,2an+1成等差数列,
∴2Sn=-a2+2an+1,当n≥2时,2Sn-1=-a2+2an
两式相减,得2an=2an+1-2an
∴当n≥2时,an+1=2an
又当n=1时,2a1=-a2=2a2,即a2=2a1,适合上式.
∴当a1=a=0时,an=0,{an}不是等比数列.
当a≠0时,
an+1
an
=2
,{an}是首项为a,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)∵a3=32,∴a≠0,此时an=a×2n-1
∴32=a×24,解得a=2,∴an=2n
bn=log2(a1a2…an)=log2(2×22×…×2n)
=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=
2
1×2
+
2
2×3
+…+
2
n(n+1)

=2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=2(1-
1
n+1

=
2n
n+1
点评:本题考查等比数列的判断,考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.
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2
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a
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12
13
5
13
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13
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b
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13
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13
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5
13

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7
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10
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