Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n和S_n满足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…），
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，对任意n∈N^*，T_n＞都成立，求整数m的最大值．

Answer 1

解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2），②
①-②得
4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
∴4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
化简得（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
∴{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）b_n===（-）．
∴T_n=[（1-）+（）+…+（-）]
=（1-）=．
（3）由（2）知T_n=（1-），
T_n+1-T_n=（1-）-（1-）
=（-）＞0．
∴数列{T_n}是递增数列．
∴[T_n]_min=T₁=．
∴＜，
∴m＜．
∴整数m的最大值是7．
分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，知4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2），由此得到（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0．从而能求出{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知b_n===（-），由此利用裂项求和法能求出T_n．
（3）由（2）知T_n=（1-），T_n+1-T_n=（-）＞0，从而得到[T_n]_min=T₁=．由此能求出任意n∈N^*，T_n＞都成立的整数m的最大值．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．