Question

已知

a

=(1，2)，

b

=(-3，2)，
（1）当k为何值时k

a

+

b

与

a

-3

b

垂直？
（2）当k为何值时k

a

+

b

与

a

-3

b

平行？平行时它们是同向还是反向？
（3）当k为何值时k

a

+

b

与

a

-3

b

夹角为钝角？

Answer 1

分析：（1）根据所给的 两个向量的坐标写出k

a

+

b

与

a

-3

b

的坐标，根据两个向量之间的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．
（2）根据上一问写出的两个向量的坐标，写出两个向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于k的方程，解方程即可．
（3）根据第一问做出的两个向量的坐标，得到两个向量的数量积小于0，且两个向量不能共线且反向，得到k的值．

解答：解：（1）∵

a

=(1，2)，

b

=(-3，2)，
∴k

a

+

b

=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）

a

-3

b

=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），
∵k

a

+

b

与

a

-3

b

垂直，
∴10（k-3）-4（2k+2）=0，
∴k=19
（2）∵k

a

+

b

与

a

-3

b

平行，
∴10（2k+2）+4（k-3）=0，
∴k=-

1

3

k

a

+

b

=（-

10

3

，

4

3

）

a

-3

b

=（10，-4）
∴两个向量平行且方向相反．
（3）∵k

a

+

b

与

a

-3

b

夹角为钝角，
∴10（k-3）-4（2k+2）＜0，且k≠-

1

3

，
∴k＜19且k≠-

1

3

．

点评：本题考查两个向量的坐标形式的垂直，平行和夹角是钝角，解题时注意最后一问，不要忽略我们用两个向量的数量积来表示夹角是钝角，其中包括两个向量方向相反的情况，注意舍去．