(I)根据题目给的条件可A=2,T=4,可得

,再根据图像过点(1,2),
可求出

.从而确定f(x)的表达式进而可求出其单调增区间.

,
由于

的最大值为2且A>0,
∴ 所以

即A=2
∴

,又函数

的图象过点(1,2)则

∴

由

得

∴

的单调增区间是

(II)由于周期为4,所以只需要求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值,然后即可知

.
由(Ⅰ)知

,
∴

的周期为4,而2012=4×503
且

∴原式

(III)解本小题的关键是知道

函数

的零点个数即为函数

的图象与直线

的交点个数.然后分别作出其图像,从图像上观察得到结论即可.

函数

的零点个数即为函数

的图象与直线

的交点个数.
在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象(如下图所示),

由图象可知:
1)当

或

时,函数

的图象与直线

无公共点,即函数

无零点;
2)当

或

时,函数

的图象与
直线

有一个公共点,即函数

有一个零点;
3)当

时,函数

的图象与
直线

有两个公共点,即函数

有两个零点.