Question

已知函数f(x)=x+

a

x

（1）若f（2）=4，求a的值；
（2）x＞0时，f（x）的图象如图，看图指出y=f（x）（x＞0）的减区间，并证明你的结论．
（3）请根据函数的性质画出f（x）（x＜0）的草图（无需列表）．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入f（x），求得a的值；
（2）由图象得y=f（x）（x＞0）的减区间，用定义证明f（x）的单调性；
（3）f（x）是定义域上的奇函数，图象关于原点对称，根据x＞0时f（x）的图象，可以画出x＜0时f（x）的图象．

解答：解：（1）∵f(2)=2+

a

2

=4∴a=4，即a的值是4；
（2）由图知，y=f（x）（x＞0）的减区间是(0，

a

)
证明：设任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂＜

a

；
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

a

x1

）-（x₂+

a

x2

）=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)=(x1-x2)(

x1x2-a

x1x2

)；
∵0＜x1＜x2＜

a

，∴x₁x₂＜a，∴x₁x₂-a＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
∴f（x）在(0，

a

)上单调递减．
（3）∵函数f(x)=x+

a

x

（x≠0），∴f（-x）=-x+

a

-x

=-（x+

a

x

）=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数，图象关于原点对称；
根据x＞0时f（x）的图象，画出x＜0时f（x）的图象，如图．

点评：本题考查了基本初等函数的性质与应用问题，根据函数的图象写出单调性以及应用奇偶性画出函数的图象等知识，是基础题．