Question

奇数集合A={a|a=2n+1，n∈Z}可以是由整数除以2所得余数为1的所有整数的集合，偶数集合B={a|a=2n，n∈Z}可以是由整数除以2所得余数为0的所有整数的集合．
（1）判断集合M={x|x=2n+1，n∈Z}与N={x|x=4k±1，k∈Z}的关系．
（2）试分别写出整数除以3所得余数为i（i=1，2，3）的所有的整数的集合．

Answer 1

解：（1）定义集合N的元素满足：x=4k+1或x=4k-1=4（k-1）+3，（k∈Z）由此可知：集合N的元素是整数除以4得到的余数为1或3，因此集合N是由所有奇数组成的集合，故M=N；
（2）整数除以3所得余数为1的所有的整数的集合为{x|x=3n+1，n∈Z}；
整数除以3所得余数为2的所有的整数的集合为{x|x=3n+2，n∈Z}；
整数除以3所得余数为3的所有的整数的集合为{x|x=3n+3，n∈Z}．
分析：（1）定义集合N的元素满足：x=4k+1或x=4k-1=4（k-1）+3，（k∈Z）由此可知：集合N的元素是整数除以4得到的余数为1或3，因此集合N是由所有奇数组成的集合，即可得到集合与N的关系；
（2）整数除以3所得余数为1的所有的整数可以写成形式：x=3n+1，n∈Z；
整数除以3所得余数为2的所有的整数可以写成：x=3n+2，n∈Z；
整数除以3所得余数为3的所有的整数可以写成：x=3n+3，n∈Z．
点评：熟练掌握带余除法的理论知识：n=pq+r，（0≤r＜q，q是除数）是解题的关键．