Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+3m，x∈[{0，+∞}）$，若f（x）+5≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{17}{9}，+∞}）$
• B． $（{\frac{17}{9}，+∞}）$
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 要找m的取值使f（x）+5≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的最小值点，得到函数f（x）的最小值，即可求出m的取值范围．

解答 解：因为函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3m，所以f′（x）=x²-4x．
令f′（x）=0得x=0或x=4，
经检验知x=4是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（4）=3m-$\frac{32}{3}$．
不等式f（x）+5≥0恒成立，即3m-$\frac{32}{3}$+5≥0恒成立，
解得m≥$\frac{17}{9}$．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．