Question

设f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）试证明：函数f（x）的图象上任意两点的连线的斜率大于0；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用换元法求函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义判断函数f（x）为奇函数．
（2）分当a＞1时和 0＜a＜1时两种情况，根据

a

a2-1

的符号以及a-x-

1

a-x

的单调性，判断f（x）的单调性，从而得出结论．
（3）根据f（x）为奇函数，在（-1，1）上为增函数，可得-1＜1-m＜m²-1＜1，由此求得m的取值范围．

解答：解：（1）令t=log_ax（ t∈R），可得 x=a^t，代入f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

 中，得 f（t）=

a

a2-1

（ at-

1

at

），
∴f（x）=

a

a2-1

 （ax-

1

ax

），
f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=

a

a2-1

（ a-x-

1

a-x

）=-

a

a2-1

（a-x-

1

a-x

）=-f（x），故f（x）为奇函数．

（2）当a＞1时，

a

a2-1

＞0，ax-

1

ax

为增函数，故 f（x）=

a

a2-1

（ax-

1

ax

） 在R上是增函数．

当 0＜a＜1时，

a

a2-1

＜0，ax-

1

ax

为减函数，故 f（x）=

a

a2-1

（ax-

1

ax

） 在R上是增函数．

综上，f（x）为增函数，由增函数的定义知：对任意x₁＜x₂，有 f（x₁）＜f（x₂），∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
故任意两点的连线斜率都大于零．
（3）由（1）知f（x）为奇函数，由（2）知f（x）在（-1，1）上为增函数，
故有-1＜1-m＜m²-1＜1，解得 1＜m＜

2

，即m的取值范围为（1，

2

）．

点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，函数的奇偶性和单调性的应用，直线的斜率公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．