Question

已知函数f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R），且g（1）-g（-

1

2

）=f（0）．
（1）试求b，c所满足的关系式；
（2）若c=0时，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）内有唯一解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件建立方程关系即可求b，c所满足的关系式；
（2）若c=0时，b的值也可解出，画函数f（x）与g（x）的 图象，利用数形结合解方程f（x）=g（x）．

解答： 解：（1）由g（-

1

2

）-g（1）=f（0），得（b+c）-（-2b+4c）=-3，
∴b、c所满足的关系式为b-c+1=0．
（2）当c=0时，b=-1，
∴g（x）=-

1

x

，方程f（x）=g（x）可化为ax-3=-

1

x

，
在同一坐标系中画函数y=ax-3，y=-

1

x

：

直线y=ax-3横过定点（0，-3），
要使方程f（x）=g（x）在（0，+∞）内有唯一解，只要两函数的图象只有一个交点，
又∵a为斜率，只要a满足a＜0，或a=0或a=k_l即可，其中直线l：y=ax-3与y=-

1

x

相切．
由

y=ax-3 y=- 1 x

可推得ax-3=-

1

x

，即ax²-3x+1=0，∴△=9-4a=0得出k_l=

9

4

，
∴a＜0，或a=0或a=

9

4

，
∴a的取值范围是（-∞，

9

4

]∪{0}∪{

9

4

}

点评：本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合的思想，把方程问题转化为函数图象的交点问题，体现转化的思想．