Question

已知抛物线L的方程为x²=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦长为

2

．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3，4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立方程组，利用弦长公式，直接求出p的值；
（Ⅱ）设A（x1，x12），C（x2，x22），设BC的斜率为k，

y-1=k(x-1) x2=y

，求出k_AC，得到直线AC的方程，求出ED的斜率，利用函数的单调性求出斜率AD的最大值，求出BC的方程．

解答：（Ⅰ）  解：由

y=x x2=2py

解得A（0，0），B（2p，2p）…2分
∴

2

=AB=

4p2+4p2

=2

2

p，
∴p=

1

2

  …5分
（Ⅱ） 解：B（1，1），设A（x1，x12），C（x2，x22），kAC=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x₁+x₂，
设BC的斜率为k，则

y-1=k(x-1) x2=y

⇒x²-kx+k-1=0，
△=k²-4k+4≥0，
又1+x₂=k⇒x₂=k-1，C（k-1，（k-1）²），A(-

1

k

-1，(

1

k

+1)2)，
k_AC=x₁+x₂=k-

1

k

-2，
直线AC的方程为y-（k-1）²=（k-

1

k

-2）[x-（k-1）]，
令x=0，y=k-

1

k

，所以E（0，k-

1

k

），
AD：y-x12=2x₁（x-x₁）⇒y=2x₁x-x12，
同理CD：y=2x₂x-x22，
联立两方程得D（

1

2

（k-

1

k

-2），

1

k

-k），E（0，k-

1

k

），k_ED=

k- 1 k +k- 1 k

1 2 (2+ 1 k -k)

=-4(1+

2

k- 1 k -2

)，
令u=

1

k

-k，在[3，4]递减，所以，当k=4时，k_ED最大为-

60

7

，
所以，BC的方程为y-1=4（x-1）即4x-y-3=0…12分

点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线方程的综合问题，设而不求的思想，韦达定理的应用，函数的单调性等知识，考查计算能力转化思想的应用．