Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中点，Q是A₁B₁上任意一点，E、F是CD上任意两点，且EF的长为定值，现有如下结论：
①异面直线PQ与EF所成的角为定值；
②点P到平面QEF的距离为定值；
③直线PQ与平面定PEF所成的角为定值
④三棱锥P-QEF的体积为定值；
⑤二面角P-EF-Q的大小为定值．
其中正确的结论是

3

．

Answer 1

分析：通过异面直线所成角，直线与平面所成角二面角，几何体的体积的判断，找出正确判断的个数即可．

解答：解：当点Q与A₁重合时，异面直线PQ与EF所成角为

π

2

，当点Q与A₁B₁的中点重合时，异面直线PQ与EF所成角为

π

4

，所以①不正确；
当Q是A₁B₁上任意一点，三棱锥P-QEF上的高为PA₁不变，所以②正确．
当Q是A₁B₁上任意一点，直线PQ与平面定PEF所成的角是变化的，所以③不正确；
当Q是A₁B₁上任意一点，Q点到直线EF的距离不变，恒为A₁D=

2

a，点P到底面QEF的距离恒为PA，所以棱锥的体积是定值，④正确；
当Q是A₁B₁上任意一点，二面角P-EF-Q的大小为45°，不变是定值，正确．
所以正确的命题有3个．
故答案为：3．

点评：本题考查空间角的求法，几何体的体积的求法，空间中点线面的距离的应用，考查空间想象能力与计算能力．