【题目】已知函数f(x),x∈R.
(1)若f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)当a>0时,不等式f(sinxcosx)﹣f(4+t)≥0对任意的x∈恒成立,求实数t的取值范围;
(3)当a>0时,关于x的方程在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解,求实数a的取值范围.
【答案】(1)a;(2)(];(3)(,log4]
【解析】
(1)根据f(x)是偶函数,有f(﹣x)=f(x),得log2(2﹣x+1)+a(﹣x)=log2(2x+1)+ax化简求解.
(2)由a>0,结合对数函数和一次函数的单调性,得到函数f(x)=log2(2x+1)+ax是增函数,然后利用单调性的定义,将不等式f(sinxcosx)﹣f(4+t)≥0,转化为sinxcosx≥4+t,对任意的x∈恒成立,利用三角函数的性质求解.
(3)根据题意,有 f(0)=1,将方程f[f(x)﹣a(1+x)﹣1og4(2x﹣1)]=1,转化为f[f(x)﹣a(1+x)﹣1og4(2x﹣1)]=f(0).再利用函数的单调性,转化为变形为:1og4a,通过函数g(x)的图象与y=a有2个交点求解.
(1)根据题意,若f(x)是偶函数,则f(﹣x)=f(x),
则有log2(2﹣x+1)+a(﹣x)=log2(2x+1)+ax,变形可得2ax=log2(2﹣x+1)﹣log2(2x+1)=﹣x,
解得a;
(2)当a>0时,函数y=log2(2x+1)和函数y=ax都是增函数,则函数f(x)=log2(2x+1)+ax为增函数,
∵不等式f(sinxcosx)﹣f(4+t)≥0,所以f()≥f(4+t)对任意的x∈恒成立
∴sinxcosx≥4+t,对任意的x∈恒成立;
∴t≤2sin(x)﹣4对任意的x∈恒成立;
∴t≤(2sin(x)﹣4)min,x∈;
由x∈,得x∈[],
∴当x时,sin(x)﹣4的最小值为4;
∴t;故t的取值范围为(].
(3)根据题意,函数f(x)=log2(2x+1)+ax,有f(0)=1,
则f[f(x)﹣a(1+x)﹣1og4(2x﹣1)]=1即f[f(x)﹣a(1+x)﹣1og4(2x﹣1)]=f(0).
又由当a>0时,函数f(x)=log2(2x+1)+ax为增函数,
则有f(x)﹣a(1+x)﹣1og4(2x﹣1)=0,
即log2(2x+1)﹣1og4(2x﹣1)=a,
变形可得:1og4a,设g(x)=1og4,
若方程f[f(x)﹣a(1+x)﹣1og4(2x﹣1)]=1在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解,则函数g(x)的图象与y=a有2个交点,
对于g(x)=1og4,设h(x),则h(x)(2x﹣1)4.
又由1≤x≤2,则1≤2x﹣1≤3,则h(x)min=8,h(1)=9,h(2),则h(x)max=9,
若函数g(x)的图象与y=a有2个交点,
必有log48a≤log4,
故a的取值范围为(,log4].
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【题目】在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,),(0,)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与A交于A,B两点.
(1)写出C的方程;
(2)若,求k的值.
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【题目】 下列结论错误的是
A. 命题:“若,则”的逆否命题是“若,则”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题:“, ”的否定是“, ”
D. 若“”为假命题,则均为假命题
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【题目】已知椭圆的离心率为,点A为椭圆的右顶点,点B为椭圆的上顶点,点F为椭圆的左焦点,且的面积是.
Ⅰ.求椭圆C的方程;
Ⅱ.设直线与椭圆C交于P、Q两点,点P关于x轴的对称点为(与不重合),则直线与x轴交于点H,求面积的取值范围.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bcos(A)asin(B)=0,且sinA,sinB,2sinC成等比数列.
(1)求角B;
(2)若a+c=λb(λ∈R),求λ的值.
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【题目】今年入夏以来,我市天气反复,降雨频繁.在下图中统计了上个月前15天的气温,以及相对去年同期的气温差(今年气温-去年气温,单位:摄氏度),以下判断错误的是()
A.今年每天气温都比去年气温高B.今年的气温的平均值比去年低
C.去年8-11号气温持续上升D.今年8号气温最低
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