Question

在△ABC中，角A的对边长等于2，向量=，向量=．
（1）求•取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出•，然后根据三角形的内角和定理，利用二倍角的余弦函数公式化简后进行配方得到•=-2，由为锐角，利用二次函数求最值得到•取最小值时sin=，根据特殊角的三角函数值求出A即可；
（2）由a=2，根据第一问求得cosA的值，利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，根据S_△ABC=bcsinA=bc，把bc的最大值代入到面积公式里得到面积的最大值．
解答：解：（1）•=2-．
因为A+B+C=π，所以B+C=π-A，
于是•=+cosA=-2=-2．
因为，所以当且仅当=，即A=时，•取得最大值．
故•取得最大值时的角A=；

（2）设角、B、C所对的边长分别为a、b、c由余弦定理，得b²+c²-a²=2bccosA
即bc+4=b²+c²≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号．
又S_△ABC=bcsinA=bc≤．当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为．
点评：考查学生会进行平面向量的数量积的运算，灵活运用二次函数求值的方法及灵活运用余弦定理化简求值．会利用基本不等式求最值．