Question

已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.
（1）对任意实数，求证：不成等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
（3）设为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）当时，数列是等比数列；（3）存在，且.

试题分析：（1）证明否定性命题，可用反证法.如本题中可假设存在，使成等比数列，则可由来求，若求不出，说明假设错误，结论是不存在，，但这个式子化简后为，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比数列，由题意可先求出的递推关系，，这时还不能说明就是等比数列，还要求出，，只有当时，数列才是等比数列，因此当时，不是等比数列，当时，是等比数列.（3）存在性命题的解法，都是假设存在，然后求解，由（2）当时，，则满足题意，当时，，，即，即，
我们只要求出的最小值，从此式可看出最小值在为正奇数时取得，利用函数的单调性知时取最小值.
（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,
即矛盾.
所以不成等比数列.          4分
（2）因为
        6分
又,
所以当，，(为正整数)，此时不是等比数列.  8分
当时，，由上式可知，∴(为正整数) ，
故当时，数列是以为首项，－为公比的等比数列.          10分
（3）由（2）知，当时，, 则，所以恒成立.
当，得，于是        13分
要使对任意正整数，都有成立，即           
，令，
则当为正奇数时， 当为正偶数时，
∴的最大值为, 于是可得
综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有         18分