Question

9．设f（x）是[-3，3]上的偶函数，且当x∈[0，3）时，f（x）=x²+2x，若f（3）=f（0）
（1）求f（x）的解析式；
（2）解方程f（x）=3；
（3）若不等式f（x）≤a²-2a恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）可设x∈（-3，0），从而有-x∈（0，3），这样便可求出f（x）=x²-2x，并容易求出f（-3）=f（3）=0，从而可得出f（x）的解析式；
（2）讨论x的范围：x∈（0，3）时，解方程x²+2x=3，而x∈（-3，0）时，解方程x²-2x=3，这样即可得出原方程的解集；
（3）根据f（x）在[-3，3]上为偶函数，以及f（3）=f（-3）=0，x∈[0，3）时，f（x）=x²+2x单调递增，从而可以求出函数f（x）的值域为[0，15），从而有15≤a²-2a，解该不等式即可得出a的范围．

解答 解：（1）设x∈（-3，0），0＜-x＜3；
∴f（-x）=x²-2x=f（x）；
又f（-3）=f（3）=f（0）=0；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x}&{x∈[0，3）}\\{{x}^{2}-2x}&{x∈（-3，0）}\\{0}&{x=±3}\end{array}\right.$；
（2）①若x∈（0，3），f（x）=x²+2x；
∴由f（x）=3得，x²+2x=3；
解得x=1，或x=-3（舍去）；
②若x∈（-3，0），f（x）=x²-2x；
∴解x²-2x=3得，x=-1，或x=3（舍去）；
∴f（x）=3的解集为{-1，1}；
（3）f（x）=x²+2x在[0，3）上单调递增；
∴f（0）≤f（x）＜f（3）；
即0≤f（x）＜15；
根据f（x）在[-3，3]上为偶函数，f（-3）=f（3）=0便得：0≤f（x）＜15；
∴15≤a²-2a；
解得a≤-3，或a≥5；
∴a的范围为（-∞，-3]∪[5，+∞）．

点评 考查偶函数的定义，已知偶函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，解一元二次方程，解一元二次不等式，根据函数的单调性求函数值域，以及求偶函数值域的方法，函数恒成立问题的解决方法．