Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2）．
（1）求a₂，a₃，
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设{a_n}的前n项和S_n，证明：S_n＞2-

1

2n-1

-

n

2n

．

Answer 1

分析：（1）a₁=1，再a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2）中令n=2求a₂，令n=3求a₃．
（2）由a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2），两边取倒数，得出

n

an

=

an-1+2n-2

an-1

=

2(n-1)

an-1

+1，令c_n=

n

an

，构造得出数列{c_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
通过数列{c_n+1}的通项公式求a_n．
（3）由（2）a_n=

n

2n-1

，直接求S_n不易求．将每项进行缩小，a_n=

n

2n-1

＞

n

2n

，利用错位相消法将右边相加、化简后，即可证明．

解答：解：（1）a2=

2a1

a1+2×2-2

=

2

3

，a3=

3a2

a2+2×3-2

=

3

7

（2）a_n=

nan-1

an-1+2n-2

（n≥2）．
∴

n

an

=

an-1+2n-2

an-1

=

2(n-1)

an-1

+1，
令c_n=

n

an

，则c_n=2c_n-1+1，c_n+1=2（c_n-1+1），
又c₁+1=

1

a1

+1=2，所以数列{c_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以c_n+1=2ⁿ，c_n=2ⁿ-1，
∴a_n=

n

2n-1

（3）a_n=

n

2n-1

＞

n

2n

，所以S_n＞a₁+a₂+…+a_n=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

令T_n=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①
则

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

T_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

．
所以S_n＞2-

1

2n-1

-

n

2n

．

点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式求解，数列求和，放缩法不等式的证明，考查计算能力，转化思想．