Question

（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．

Answer 1

分析：（1）根据方程2x²-3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．

解答：解：（1）记h（x）=2x²-3（1+a）x+6a（a＜1）
△=9（1+a）²-48a=（3a-1）（3a-9）
当△＜0，即

1

3

＜a＜1，D=（0，+∞）
当0＜a≤

1

3

，D=(0，

3+3a- 9a2-30a+9

4

)∪(

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
当a≤0，D=(

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①当

1

3

＜a＜1，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点
②当0＜a≤

1

3

，∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
h（a）=2a²-3（1+a）a+6a=3a-a²＞0
∴1∉D，a∈D
∴f（x）在D内有一个极大值点a
③当a≤0，则a∉D
又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0
∴f（x）在D内有无极值点

点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．