Question

13．已知函数f（x）=ke^x+b（k，b∈R）（其中e是自然对数的底数）的导数为f′（x），f′（1）+f（1）=2e，且f（x）在x=1处的切线过原点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=x²+ax+1（a∈R），若对?x₁，x₂∈[0，2]，x₁＞x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞g（x₁）-g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得x=1处切线的斜率和切点，可得b=0，再由条件，可得k=1，进而得到f（x）的解析式；
（2）由f（x）的单调性，将条件转化为f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），令h（x）=f（x）-g（x），即有h（x）在[0，2]递增，求出h（x）的导数，考虑大于等于0恒成立，由参数分离，求得最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ke^x+b的导数为f′（x）=ke^x，
f（x）在x=1处的切线斜率为ke，
切点为（1，ke+b），即有ke=ke+b，
解得b=0，
由f′（1）+f（1）=2e，
即为ke+ke+b=2e，
解得k=1，
则f（x）的解析式为f（x）=e^x；
（2）由f（x）在[0，2]递增，且x₁＞x₂，
可得|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＞g（x₁）-g（x₂），
即为f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
可令h（x）=f（x）-g（x），即有h（x）在[0，2]递增，
由h（x）=e^x-x²-ax-1，h′（x）=e^x-2x-a，
即有h′（x）≥0在[0，2]恒成立．
即为a≤e^x-2x的最小值．
由e^x-2x的导数为e^x-2，当ln2＜x≤2时，函数递增，
当0≤x＜ln2时，函数递减．
可得x=ln2时取得最小值，且为2-2ln2．
则a≤2-2ln2．
即有a的取值范围是（-∞，2-2ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切点斜率和单调区间、极值和最值，考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题的解法，注意参数分离，考查运算能力，属于中档题．